[ 이산 수학 ] 6. 함수

함수 : A와 B는 공집합이 아니면 A → B 이고

         f: A → B라는 뜻은 A의 원소가 B 원소에 딱 하나에 할당된다는 것을 뜻한다.

 

따라서 원소 b가 f 함수에 의해 a원소에 의해 할당된 유일한 원소일 때 ' f(a)=b ' 이렇게 표현한다. 

 

1) 두 원소는 하나의 쌍으로만 있어야 함수라고 할 수 있다

받는 건 겹쳐도 되는데 주는 놈이 2개를 보내면 안 됨

 

 

• 용어들

f: A → B 라고 할 때

1) f 는 A에서 B로 'maps'하거나 'mapping' 한다고 한다.

2) A는 f의 'Domain' , B는 f의 'Codomain'

3) f(a) = b 이면,

   - b는 (f함수 아래 있는) a의 'image'이고

   - a는 b의 'preimage'이다.  

4) 함수 f의 범위 = 'images in A'이다.

  따라서  f (A) = { f (x) | x E A  }

5) 같은 Domain과 같은 Codomain을 갖고 있을 때

 혹은 각각의 domain의 elements를 map했을 때, 같은 codomain 이 나오면

'두 개의 함수는 같다고 한다.'

 

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Injection

일대일 함수 = One to one 

 

: 각각의 Domain이 하나씩 Codomain을 가지고, 각 함수 결과값 (Codomain)은 고유하다.

 

특징

1) f(a) = f(b)이면, a=b 이다.

+ 대우로는 a!=b 이면 f(a) != f(b)이다. 

→ 겹치면 안 된다 이말, 커플 매칭이랑 똑같다 보면 됨. 남자 1명 여자 1명

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Surjection

전사 함수= Onto

(완전할 전, 쏠 사)

Injection 함수에서 한 조건이 빠진다.

 ' 1) f(a) = f(b)이면, a=b 이다. '  이 조건이 없다.

따라서 그냥 Domain이 Codomain의 원소 중 하나만 찍기만 하면 성립함. 겹쳐도 ㄱㅊ 

맞는 놈들도 다 맞아야 함 안 맞는 놈 있으면 X

 

 

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Bijection(Sur+Injective)

일대일 대응 

 

: 다 쏴야하고, 받는 쪽도 다 겹치면 안 된다. + 안 맞는 놈도 없어야 한다.

 

Onto 함수와 One to One 함수 두 개를 만족하면 된다. 

 

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예시

 

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 f : A → B 함수 판별법

 

● Injective인지 증명하는 법

: 만약 f(x) = f(y) 이고, x,y가 A의 원소이면, x = y 라는 것을 증명하면 됨

 

 

● Injective가 아닌 것을 증명하는 법

:  특정 원소 x,y가 A의 원소인데, f(x)=f(y)이면서 x!=y 인 것을 찾아라.

 

 

● Surjective인지 증명하는 법

:  y가 B의 원소라 하고, f(x)=y로 만드는 A의 원소 x를 찾아라.

 

 

● Surjective가 아닌 것을 증명하는 법

:  B의 특정 원소 y가 A의 모든 원소 x에 대해  f(x) !=y 로 만드는 것을 찾아라

= 안 맞는 놈이 있는지 봐라

 

 

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Inverse Functions

역함수

: 함수 f가 A → B에 일대일대응일 때

역함수 f'는 B →에 대한 함수이다.  

 

 

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Composition

한국말로 뭐라했는지 까먹음

 

순서 중요하다 이 정도만 알면 될 듯

 

 

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그래프 함수

 

함수에 대해서 선이 아니라 그냥 점 찍어서 그래프 만드는 거

 

Floor / Ceiling

 

• Floor

밑에 씌우면 반내림

 

이렇게 생겨서 밑이 막혀있는 구조이다. 그냥 밑에 안 막혀있고 저 부분으로 빨려간다고 생각하면 된다.

아래가 뚫려있으니 숫자 소수점이든 뭐든 아래로 간다고 생각하면 됨.

 

 

• Ceiling

위에 씌우면 반올림

위에 구멍으로 빨려 올라간다고 생각하면 된다.

 

**** 음수에서 조심해야함!! 실수하기 쉬움 ****

 

따라서, 이런 문제 풀 때 이렇게 그려서 하기

 

 

 

 

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수열

 

• 등차수열
• 등비수열 

위에 두 개도 설명했는데 어차피 고등학교 때 마스터하고 와서 넘어감

 

 

• 점화식

일부 점화식 특징 ) 초기값 안 주면 시작 못 함

 

 

그런 점에서 피보나치 이런 게 잘 되어있음

1) 초기값 제시

2) 규칙 설명

 

 

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Iterative Solution

반복 해법

 

1) Working upward 

: 주어진 초기값이나 조건을 가지고 다음 n=1,2,3,4 ... 전개해보면서 규칙을 찾는 방법

 

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2) Working downward

: upward와 반대로, n에서부터 시작하여 n= n,n-1,n-2...3,2,1 이렇게 내려가서

n과 초기값으로 정리되는 식을 구하는 방법

 

 

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수열의 합

 

수열의 

 

(출처)

 

한동대학교 최희열교수님 - 이산수학

 

https://blog.naver.com/sw4r/222615061545

https://blog.naver.com/PostView.naver?blogId=obrigadu&logNo=50100112933