[ 이산 수학 ] 11. 확률

확률은 주로 

- A가 일어날 확률 =  [ A가 일어날 경우의 수 / 전체 경우의 수 ] 이런 형태이다.

 

 

경우의 수에 선택지가 2개 외에는 없을 때

 

E' = 1 - E 이렇게 해석된다. 

 

(아래 예시에서 S는 전체 경우의 수)

 

예제1)

10비트 칸이 있을 때, 적어도 하나는 0일 확률은?

풀이)

 

E = 적어도 하나는 0인 경우

~E = 모두 1인 경우

 

따라서 " 1 - 모두 1일 확률 = 적어도 하나는 0인 경우 "

 --> 모두 1일 확률 = 모두 1인 경우의 수 / 전체 경우의 수 

 

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경우의 수에 선택지가 2개보다 많을 때

 

그냥 집합의 덧셈과 같다.

각 확률에서 더하다 보니 중복해서 들어가는 부분이 있기 때문에

그 값을 한 번은 빼준다.

 

 

예제)

100 이하의 랜덤 숫자로 뽑았을 때 2나 5로 나눠지는 것일 확률은?

2나 5로 나눠지는 숫자일 확률 = 2로 나눠질 확률 + 5로 나눠질 확률 - 2나 5 모두로 나눠질 확률

 

= 50/100 + 20/100 - 10/100 = 3/5

 

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S안에 있는 원소들을 s라고 했을 때,

 

1. 각 s가 일어날 확률은 0~1이라고 할 수 있고,

2. 그것들의 총합은 1이다.

 

예제 ) 

Heads 면과 Tail면이 있는 동전이 있고

Head가 나올 확률이 2배가 더 높다.

그럼 원래 동전인 경우 : p(h) = p(t) = 1/2인데

이렇게 하나의 확률이 높을 땐 p(h) = 2/3 , p(t) = 1/3이다.

(계산하는 법 : 하나에 변수,확률에 다 몰아준다.

  p(h) = 2p(t)이다. --> p(h) +p(t) = 1 --> 2p(t) + p(t) = 3p(t) = 1

  --> p(t) = 1/3 , p(h) = 2/3)

 

 

 함수or집합 E에서 일어날 수 있는 확률

 

= 그 안에 있는 elements들이 일어날 확률의 합

 

 

예제)

3이 다른 것들에 비해 2배가 더 잘 나오는 주사위

풀이 

 

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알아둘 것 1)

 

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알아둘 것 2)

 

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조건부 확률

P(구하고 싶은 거 | 조건 ) = 조건이 일어났을 때, 구하고 싶은 게 일어날 확률

P( E | F ) = F가 일어났을 때, E가 일어날 확률

 

 

예제 )  0으로 시작하고, 적어도 2개 이상의 연속된 0이 있는 4비트가 나올 확

E = 연속된 0이 최소 2개 이상

F =  첫 비트가 0인 확률

 

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Independent

E와 F가 independent인지 확인하는 법

 

[ p( E | F ) = p( E ) 인지 본다 ] 

OR

[ p( E and F ) = p( E ) p( F ) 인지 본다 ] 

 

 

 

 

 

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두 개의 결과만 가능한 상황에서 이거 or 저거 가 나올 수 있는데,

[이거 확률] + [저거 확률] =1임 (당연한 내용임)

 

 

예제)

 

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b(k;n,p)

= n번 시행해서 . p의 확률인 event가 k번 나온 거

 

 

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변수

X(s)에 있는 원소 r을 변수로 하여

그에 대한 식을 쓰는 거임

 

( r , r이 일어날 확률 )

 

 

예제)

X(t) = 동전을 3번 던졌을 때, 머리면이 t번 나왔다.

 

이런 식으로 변수를 쓴다. 주로 횟수나 개수를 변수로 설정한다.

 

 

 

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방에 생일이 같은 사람이 있을 확률이 0.5 이하로 하게 하려면 최소 몇 명이 있어야 할까?

 

1년을 366일로 가정.

Pn = n명 중 2명이 다른 생일을 갖고 있다.

우리가 구하려고 하는 건 1- Pn임 

 

- 2번째 사람이 첫번째 사람과 생일이 다를 확률 = 365 / 366

- 3번째 사람이 앞에 두 사람과 생일이 다를 확률 = 364 / 366

...

- n번째 사람이 앞에 있었던 사람과 생일이 다를 확률 = 366-(n-1)/ 366 = 367 - n / 366

 

P(n) = P(2)P(3)P(4)...P(n-1) 임