[ 이산 수학 ] 13. 확률 분포

기댓값

 

확률변수 X가 취하는 값 x1, x2, ... , xn에 대한 확률분포가 p1, p2, ... , pn일 때, 평균을 구하면

E(X) = x1p1 + x2p2 + ... + xn*pn

 

 

X를 주사위를 던졌을 때 나오는 숫자라고 해보자

X의 기댓값은?

 

[1부터 6까지 ] →  (n) * ( n이 나올 확률 )

 

 

동전을 3번 튕겼을 때 나올 수 있는 경우에서, 확률변수 X를 Head 면이 나온 횟수라고 하자.

X의 기댓값은?

 

가능한 경우의 수

3개: HHH

2개 : HHT,HTH, THH

1개 : HTT,THT,TTH

0개 : TTT  

 

이렇게 되어 있을 때,

 

3개일 때는 하나의 경우만 나오므로 1/8

1, 2개일 때는 3개의 경우이므로 3/8

0개일 때는 하나의 경우이므로 1/8

 

=> ( 3 * 1/8 ) + (2 * 3/8) + (1 * 3/8) + (0 * 1/8)

= 1.5

 

확률이 항상 p로 일정하고 시행횟수가 n이면 다음과 같은 식이 성립한다.

 

●  k= 1~n일 때 , p(k) = C(n,k) p^k * q^(n-k)

●   k * C(n,k) = C(n , k-1)

●  C(n , k-1) = n C(n-1 , k-1)

n! = n * (n-1)!

 

이렇게 되면 n번째 확률은 계산하지 못하므로

np로 묶어서 시그마 밖으로 빼준다.

그러면 n번째 항은 세지 않으므로, 시그마의 범위를 바꿔준다. 

k -1 의 범위가 1 ~ n 이므로,  k-1를 하나의 문자로 치환한 j의 범위가 0~n-1 이 된다

 

● 다 더하면 p와 q를 합한 값들이 나올텐데 그건 어차피 1이므로  np만 구하면 된다.

 

따라서 E(X) = 시그마 kp (k는 1부터 n까지 , X=k)

                    = np

 

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특징

 

 

1) 여러 확률변수 합의 기댓값은, 각각의 확률 변수 기댓값을 합한 것과 같다.

2) E(aX + b) 의 기댓값은 E(X) * a + b와 같다.

 

1) 특징으로 풀 수 있음 , 그걸 디테일하게 보여준 것

(+ E(x) = p(s)X(s)  )

 

2) 특징으로 풀 수 있음 , 그걸 디테일하게 보여준 것

 

(+ E(x) = p(s)X(s)  )

 

 

예제)

동전을 던져서 Tail 면이 나올 때까지 던진다고 했을 때, 기댓값은?

 

--> 가능한 경우의 수로는 T, HT, HHT, HHHT, HHHHT ... 형태로 있다.

 

p가 tail면이 나오는 확률이므로

p(T) = p                 p(X=1)

p(HT) = (1-p) p =   p(X=2)

p(HHT) = (1-p)^2 p =   p(X=3)

...

P(HHH...T) = (1-p)^(n-1) p = p(X=n)

 

 

 

 

 

어떤 걸 성공할 때까지 시행을 한다면, 그에 대한 기댓값은 성공할 확률의 역수이다.

 

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p( X=r1 and Y=r2 ) = p(X=r1) * p(Y=r2) 이 성립하면

X와 Y는 독립적이라고 할 수 있다.

 

p(1/6 * 1/6) = p(1/6) * p(1/6)

 

 

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- X , Y: 주사위를 던져서 나온 2개의 수

- Z :  X,Y의 합

 

(왼쪽) X가 1이 나오고 Z는 12일 확률=0

(오른쪽) X가 1이 나올 확률 = 1/6  * Z가 12일 확률 = 1/36

둘을 곱하면 0은 아니다.

 

독립이 아님!

 

 

천천히 이해해보기로

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Variance

 

 

V(x) = 편차 제곱의 평균

        = ( 값 - 평균 )^2  / n(개수)

        = Sigma (s E S) (X(s) - E(X)) ^2 p(s)

 

 

 

 

 

 

 

 

예제) 

 

주사위를 굴렸을 때 나오는 숫자 X

X에 대한 분산은?

 

 

 

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Bienaymé‘s Formula : X,Y가 독립이면, V(X+Y) = V(X)+V(Y)

Futhermore, V(X1+X2+X3...+Xn) = V(X1)+V(X2)+V(X3) + ... +V(Xn)

 

 

Proof 

 

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독립적인 확률의 일이 n번 수행되었을 때, p가 성공확률 / q가 실패확률

 

이 때 분산은?

V(X) = npq

 

 

 

 

(참고)

 

분산 파트

https://hsm-edu.tistory.com/1459

 

확률변수의 독립 

https://doctorinformationgs.tistory.com/115